自然数の1乗の和と3乗の和の相互関係の幾何的証明のようなもの

ここのところ妹が数学Bの数列で苦しんでいて
僕はずっと"数列教えるマン"のお仕事をしています。


この分野ではまず等差・等比数列に触れてから
総和記号\sumを導入して自然数冪乗和、特に0,1,2,3乗の場合を公式として覚えて、
階差数列に入る、という構成になっていますね。*1



\displaystyle 
\sum_{k = 1}^n k^0 = n


\displaystyle 
\sum_{k = 1}^n k^1 = \frac{1}{2}n(n + 1)


\displaystyle 
\sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)


\displaystyle 
\sum_{k = 1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2}n(n + 1) \right\}^2


↑懐かしいですね。



今回はこの公式群を見てて誰もが一度は気になったことがあるだろう、
"自然数の3乗の和は自然数の1乗の和の2乗である"という事実をパワポを使って幾何的に表してみました。



"自然数の3乗の和"の幾何表現

面積がn^2である正方形をn個ずつ、1からnまでそれぞれ用意したとき、(但しn \in \mathbb{N})
それらの面積の総和は\sum_{k = 1}^n k^3 と表現できる。

f:id:Arswkissing:20170926204732p:plain





"自然数の1乗の和の2乗"の幾何表現

先に用意した正方形を以下のように貼り合わせる。
(このとき偶数辺の正方形をそれぞれ1つずつ半分サイズの長方形に切り分けて配置する。)
f:id:Arswkissing:20170926204809p:plain

貼り合わされて出来た大きな正方形の1辺の長さは自然数の1乗の和になっているから
大きな正方形の面積は \left \{ \sum_{k = 1}^n k^1 \right \}^2 = \left \{ \frac{1}{2}n(n + 1) \right \}^2と表現できる。





以上から

\displaystyle 
\sum_{k = 1}^n k^3 = \left \{ \frac{1}{2}n(n + 1) \right \}^2
成立することがわかる。

*1:階差数列の一般項 a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_kで総和記号を使いたいがための順序と思われる。